時系列データ解析 01 ～自己共分散・自己相関係数

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　アプリの制作も少し疲れましたので、沖本先生の本のまとめも同時に行います。

　LaTexも大学以来なので覚束ないですね。

　時間の経過とととに観測されるデータを時系列データといいます。

　一時点に観測されるクロスセクションデータとは別のもののになります。

　クロスセクションデータと異なり、観測される順番に意味があります。

　時系列データにも基本統計量があります。

　期待値と分散は省略し、自己共分散(autocovariance)についてですが、これは同一の時系列データにおける異時点間の共分散になります。

$\displaystyle \gamma_{1 t} = Cov ( y_{t}, y_{t - 1} ) = E \left[ ( y_{t} - \mu_{t} ) ( y_{t - 1} - \mu_{t - 1} )\right]$

　これは1次の自己共分散であり、2次以降の $k$ 次に一般化するとこうなります。

$\displaystyle \gamma_{k t} = Cov ( y_{t}, y_{t - k} ) = E \left[ ( y_{t} - \mu_{t} ) ( y_{t - k} - \mu_{t - k} )\right]$

この $k$ 次自己共分散を $k$ の関数と見たものを自己共分散関数といいます。

　そして、自己共分散を基準化した自己相関係数は、このようになります。
$\displaystyle \rho_{k t} = Corr ( y_{t}, y_{t - k} ) = \frac{Cov ( y_{t}, y_{t - k} )} { \sqrt{Var (y_{t}) \cdot Var ( y_{t - k} )}} = \frac{\gamma_{kt}}{\sqrt{\gamma_{0t} \gamma_{0, t - k}}}$