マツリさんの日記

androidプログラミング初心者の奮闘日記です。たまに統計学もしてます。

時系列データ解析 02 ～定常性

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　また、沖本先生の本の続きです。

　定常性は、時系列データの同時分布や基本統計量の時間不変性に関する性質です。

　まず、弱定常についてですが、任意の $t$ と $k$ に対して、

$\displaystyle E ( y_{t} ) = \mu$

$\displaystyle Cov ( y_{t}, y_{t - k} ) = E \left[ ( y_{t} - \mu ) ( y_{t - k} - \mu ) \right] = \rho_{k}$

が成立する場合、その過程は弱定常(weak stationary)といいます。

　過程が弱定常のとき、自己相関係数はこのようになります。

$\displaystyle Corr ( y_{t} , y_{t - k} ) = \frac{\gamma_{k t}}{\sqrt{\gamma_{0 t} \gamma_{0, t - k }}} = \frac{\gamma_{k}}{\gamma_{0}} = \rho_{k}$

　任意の $k$ に対して、 $\gamma_{k} = \gamma_{- k}$ と $\rho_{k} = \rho_{-k}$ が成立します。

　弱定常性は、過程の期待値と自己共分散が時間を通じて一定になります。

　次に強定常性ですが、任意の $t$ と $k$ に対して、 $( y_{t}, y_{t - 1}, . . . , y_{t - k} )^{'}$ の同時分布が同一となる場合、その過程は強定常性(strict stationary)といわれます。

　強定常過程の例として、iid系列があります。

　iid系列とは、各時点のデータが互いに独立でかつ同一の分布に従う系列のことです。

　 $y_{t}$ が期待値 $\mu$ 、分散 $\sigma^{2}$ のiid系列であることを $y_{t} \sim iid ( \mu, \sigma^{2} )$ と表記します。

　iid系列より弱い仮定をおいたものがホワイトノイズになります。

　ホワイトノイズとは、すべての時点 $t$ において、

$\displaystyle E ( \epsilon_{t} ) = 0$

$\displaystyle \gamma_{ k } = E ( \epsilon_{t} \epsilon_{t - k} ) = \begin{cases}{} \sigma^{2}, & k = 0 \\ 0, & k \neq 0 \end{cases}$

が成立するとき、 $\epsilon_{t}$ はホワイトノイズ(white noise)といいます。

　ホワイトノイズはすべての時点において期待値が $0$ で、かつ分散が一定であり、自己相関をもたないことが必要です。