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マツリさんの日記

androidプログラミング初心者の奮闘日記です。今年は統計検定1級も受験したい。

時系列データ解析 02 ~ 定常性

 また、沖本先生の本の続きです。

 定常性は、時系列データの同時分布や基本統計量の時間不変性に関する性質です。


 まず、弱定常についてですが、任意の  t  k に対して、

 \displaystyle E ( y_{t} ) = \mu

 \displaystyle Cov ( y_{t}, y_{t - k} ) = E \left[ ( y_{t} - \mu ) ( y_{t - k} - \mu ) \right] = \rho_{k}

が成立する場合、その過程は弱定常(weak stationary)といいます。

 過程が弱定常のとき、自己相関係数はこのようになります。

 \displaystyle Corr ( y_{t} , y_{t - k} ) = \frac{\gamma_{k t}}{\sqrt{\gamma_{0 t} \gamma_{0, t - k }}} = \frac{\gamma_{k}}{\gamma_{0}} = \rho_{k}

 任意の  k に対して、 \gamma_{k} = \gamma_{- k} \rho_{k} = \rho_{-k}が成立します。

 弱定常性は、過程の期待値と自己共分散が時間を通じて一定になります。


 次に強定常性ですが、任意の  t  k に対して、  ( y_{t}, y_{t - 1}, . . . , y_{t - k} )^{'} の同時分布が同一となる場合、その過程は強定常性(strict stationary)といわれます。

 強定常過程の例として、iid系列があります。

 iid系列とは、各時点のデータが互いに独立でかつ同一の分布に従う系列のことです。

  y_{t} が期待値  \mu 、分散  \sigma^{2} のiid系列であることを  y_{t} \sim iid ( \mu, \sigma^{2} ) と表記します。

 iid系列より弱い仮定をおいたものがホワイトノイズになります。

 ホワイトノイズとは、すべての時点  t において、

 \displaystyle E ( \epsilon_{t} ) = 0

 \displaystyle \gamma_{ k } = E ( \epsilon_{t} \epsilon_{t - k} ) = \begin{cases}{} \sigma^{2}, & k = 0 \\ 0, & k \neq 0 \end{cases}

が成立するとき、 \epsilon_{t} はホワイトノイズ(white noise)といいます。

 ホワイトノイズはすべての時点において期待値が  0 で、かつ分散が一定であり、自己相関をもたないことが必要です。